参考：Rasterization

简述

  光栅化是将 3D 空间三角形投影至 2D 屏幕空间的过程。

基本流程

  一个基本的光栅化器可按以下方式工作：

• 使用相机矩阵将三角形的顶点从世界空间（坐标系）变换到相机空间（坐标系）
• 使用视口变换矩阵将三角形的顶点从相机空间变换到NDC空间，即将 $x$、$y$、$z$ 分量映射到 $[-1, 1]$，其中 $z$ 又基于近裁剪平面和远裁剪平面进行映射。在这一步可以检查面法线是否和视线方向相同，方向不同则丢弃此片段（背面剪裁）
• 进行透视除法，将 $x$、$y$ 分量除以 $z$，将顶点变换到屏幕空间，在这一步可以检查顶点的缠绕顺序，不满足所需的顺序则丢弃此片段。
• 迭代三角形在屏幕空间中的可见区域的最小矩形包围区域（包围框），测试每个像素的中心点是否在三角形上，如果在，则计算并设置颜色值。这一步还可以通过插值计算片段的 z 深度值并检查是否小于之前绘制的点，如果不是可以丢弃此片段（深度测试）

Edge函数

  此函数只是将两个向量叉乘，笛卡尔坐标向量叉积定义为 $a \times b = \lvert{a} \rvert \lvert{b} \rvert \sin{\theta}$，其中 $\theta$ 是向量间的夹角，由于向量叉乘不满足交换律且结果是有符号，可用于判断一点在向量的左侧或右侧（从向量指向的方向观察），可用于在二维中判断一点是在三角形上还是在三角形外。同时向量叉乘的结果还是向量构成的平行四边形的有符号面积。

图 1：白色区域内包含的点全部位于三角形所有三个边的右侧。

重心坐标

  重心坐标 $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)$ 是三个数组成的元组，可用于表示构成三角形的 $V_0$、$V_1$、$V_2$ 对于坐标系中一点 $P$ 的权重，$P$ 是三点的加权求和 $\lambda_0 \times V_0+\lambda_1 \times V_1+\lambda_2 \times V_2$。对于在三角形上的点，有 $\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 1$ 且 $\lambda_0 \geq 0, \lambda_1 \geq 0, \lambda_2 \geq 0$
  可用于在 2D 屏幕空间中对视口空间中的顶点及其属性进行插值，原始顶点的 z 坐标的倒数可以进行线性插值。
  摄像机空间的三角形 $V_0V_1V_2$ 和其上一点 $P$ 投影到屏幕空间 $V_0'V_1'V_2'$ 和 $P'$，$P'$ 关于三角形 $V_0'V_1'V_2'$ 的重心坐标为 $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)$，则有：

$$Z_p = \frac{1}{\frac{\lambda_0}{Z_0} + \frac{\lambda_1}{Z_1} + \frac{\lambda_2}{Z_2}}$$

  同时顶点属性 $C$ 也可以如此插值：

$$C_p = Z_p \times \left(\frac{\lambda_0 \times C_0}{Z_0} + \frac{\lambda_1 \times C_1}{Z_1} + \frac{\lambda_2 \times C_2}{Z_2} \right)$$

  三角形顶点 $V_i$ 关于三角形上点 $P$ 的权重 $B_i$ 是 $P$ 点与 $V_i$ 所在角对边构成的子三角形的有符号面积与大三角形面积之比。

图 2：重心坐标

左上规则

  是一种着色规则，用于解决渲染透明片段时，重复渲染共用边造成错误的叠加，其中：

• 顶边缘是完全水平的边，构成其的顶点位于第三个顶点之上。从技术上讲，这意味着向量 V[(X+1)%3] - V[X] 的 y 坐标等于 0，并且其 x 坐标为正（大于 0）。
• 左边缘本质上是上升的边缘。鉴于在我们的上下文中顶点是按顺时针顺序定义的，如果构成一条边的向量 V[(X+1)%3] - V[X]（其中 X 可以是 0、1、2）的y值为正，则该边被视为上升边缘。

  执行着色时，仅着色处于三角形内部（不在边上）或在顶边或左边的点。

Z 缓冲

  Z 缓冲区（深度缓冲区）是一个二维的浮点型数组，大小与画布大小相同，它是解决三角形重叠问题的方法之一，在绘制任意三角形的片段（像素点）之前：

• 首先计算该像素点的原始 z 坐标或深度。
• 将当前三角形的深度与该像素对于的深度缓冲区中的值进行比较。
• 如果存储在深度缓冲区中的值大于三角形该点的深度，则新点比深度缓冲区中该像素位置处存储的点更靠近观察者或相机。然后，深度缓冲区中存储的值将替换为新的深度，并且帧缓冲区将更新为当前的三角形颜色。另一方面，如果深度缓冲区中存储的值小于当前深度样本，则可以丢弃该像素。

  在完成所有三角形的绘制后，深度缓冲区储存了场景可见区域到相机距离的图像。

抗锯齿

  锯齿是在三角形的边缘处或纹理中出现的锯齿状边缘，解决方案称为抗锯齿（AA）。一种基于采样的抗锯齿方法是对同一像素进行多次不同位置的采样，像素通常被划分为 $N \times N$ 的网格，其中 $N$ 通常是 2 的幂（2、4、8 等），采样每个像素的”子像素“并计算平均值。

透视投影矩阵

  透视投影矩阵变换摄像机空间中的坐标，将处于视锥体内处于近裁剪平面和远裁剪平面之间的 $x$、$y$、$z$ 坐标映射到 $[-1,1]$。设视锥体垂直视场的角度为 $Fov$，水平直视场角度与垂直视场角度比值为为 $a$，近裁剪平面距离为 $Z_n$，远裁剪平面距离为 $Z_f$，则透视投影矩阵为：

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{a \times \tan{(Fov \div 2)}} & 0 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1}{\tan{(Fov \div 2)}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ Z_n + Z_f}{Z_n - Z_f } & \frac{2 \times Z_n \times Z_f}{Z_n - Z_f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

投影 x、y：

$$\begin{align*} \frac{1}{a \times \tan{(Fov \div 2)}} \\\ \frac{1}{\tan{(Fov \div 2)}} \end{align*}$$

  由于 $x$、$y$ 坐标在屏幕空间中被映射到 $[-1,1]$，而将视场为 90° 的对称视口内的坐标归一化总是落在此范围内，乘以此值相当于将当前视口内顶点的 $x$、$y$ 变换到视场角为 90° 的视口内。

图 2：$\theta = 45°$，$P'.y = \frac{P.y}{\tan{\delta}}$

投影 z：
  将视锥体裁剪平面内 z 坐标映射到 $[-1, 1]$ 有如下推导：设矩阵第 3 行 3 列和 3 行 4列 分别为 $a$ 和 $b$，求其值。

$$\begin{align*} 原始坐标：P(x,y,z) \\\ 投影坐标：\big(-\frac{x}{a \times z \times \tan{(Fov \div 2)}}, -\frac{y}{z \times \tan{(Fov \div 2)}}, z'\big) \\\ 齐次坐标：\big(-\frac{x}{a \times z \times \tan{(Fov \div 2)}}, -\frac{y}{z \times \tan{(Fov \div 2)}}, z', 1\big) \\\ 乘以-z：\big(\frac{x}{a \times \tan{(Fov \div 2)}}, \frac{y}{\tan{(Fov \div 2)}}, -z \times z', -z\big) \\\ 其中 a、b 待定：a \times z + b = -z \times z' \\\ 同除 z：-a - \frac{b}{z} = z' \\\ 当 z = - Z_n 时，z' = -1 \Rightarrow -a - \frac{b}{-Z_n} = -1 \\\ 当 z = - Z_f 时，z' = 1 \Rightarrow -a - \frac{b}{-Z_f} = 1 \\\ 解出 a = \frac{ Z_n + Z_f}{Z_n - Z_f }，b = \frac{2 \times Z_n \times Z_f}{Z_n - Z_f} \end{align*}$$

由于变换后需要保留原始 z 坐标取负作为 w， 因此第四行第三列为 -1