简述
光栅化是将屏幕空间中的几何图元（通常为三角形）离散化为像素片段，并为每个片段计算相关插值属性的过程。
基本流程
一个基本的光栅化器可按以下方式工作（以类似 OpenGL 的流程为例）：
- 使用视图矩阵将三角形顶点从世界空间变换到相机（视图）空间
- 使用投影矩阵将顶点从相机空间变换到裁剪空间（Clip Space），在此阶段可根据需要进行裁剪。
- 对裁剪空间中的顶点进行透视除法，将齐次坐标的 $x$、$y$、$z$ 分量除以 $
w得到 NDC 空间坐标（范围为 $[-1, 1]）。 - 将 NDC 空间坐标通过视口变换映射到屏幕空间，并根据三角形在屏幕空间中的缠绕顺序进行背面裁剪。
- 遍历三角形在屏幕空间中的最小轴对齐包围盒，对每个像素中心点进行覆盖测试；若位于三角形内部，则通过重心坐标插值计算片段的深度值和顶点属性，并进行深度测试，未通过测试的片段将被丢弃。
Edge函数
Edge 函数基于二维向量的叉乘符号，用于判断一点相对于一条有向边的位置关系。在二维空间中，给定向量 $a = (x_a, y_a)$，$b = (x_b, y_b)$，其叉乘在 $z$ 轴方向上的标量形式定义为： $a \times b={x_a}{y_b}-{y_a}{x_b}$，该结果是有符号的，其符号表示 $b$ 位于 $a$ 的左侧或右侧。几何上，该值等于由两向量构成的平行四边形的有符号面积。
在光栅化中，通过对三角形三条有向边分别计算 Edge 函数，可以判断屏幕空间中的一点是否位于三角形内部，并可进一步用于计算重心坐标。
图 1：白色区域内包含的点全部位于三角形所有三个边的右侧。
重心坐标
重心坐标 $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)$ 是三个实数组成的元组，对于处于同一坐标系的三角形顶点$V_0$、$V_1$、$V_2$ 及点 $P$，重心坐标描述了点 $P$ 相对于三角形顶点的线性组合权重，$P$ 是三点的加权求和 $\lambda_0 \times V_0+\lambda_1 \times V_1+\lambda_2 \times V_2$。对于位于三角形内部或边界上的点，有 $\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 1$ 且 $\lambda_i \geq 0$
重心坐标可用于在 2D 屏幕空间对顶点进行插值。对于经过透视投影映射到屏幕空间的顶点，由于插值在屏幕空间是仿射进行的，可以对原始顶点 z 坐标的倒数及相应的顶点参数进行线性插值，从而实现透视正确的插值结果。
摄像机空间的三角形 $V_0V_1V_2$ 和其上一点 $P$ 投影到屏幕空间，得到 $V_0'V_1'V_2'$ 和 $P'$，设点 $P'$ 关于屏幕空间三角形 $V_0'V_1'V_2'$ 的重心坐标为 $(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)$，则有：
同时顶点属性 $C$ 也可以按相同方式进行透视矫正插值：
$$C_p = Z_p \times \left(\frac{\lambda_0 \times C_0}{Z_0} + \frac{\lambda_1 \times C_1}{Z_1} + \frac{\lambda_2 \times C_2}{Z_2} \right)$$在二维平面中，点 $P$ 相对于三角形顶点 $V_i$ 的重心坐标权重 $\lambda_i$，定义为点 $P$ 与顶点 $V_i$ 对边构成的子三角形的有符号面积，与原三角形有符号面积之比。
图 2：重心坐标
左上规则
左上规则（Top-Left Rule）是一种像素覆盖判定规则，用于在光栅化阶段解决共享边三角形的像素归属问题，避免重复覆盖或遗漏：
- 该规则规定：在判断一个像素是否被三角形覆盖时，仅当像素中心点位于三角形内部，或位于其**顶边（Top Edge）或左边（Left Edge）**上时，才认为该像素被该三角形覆盖。。
- 其中，顶边指在屏幕空间中 $y$坐标不变且方向从左向右的边；左边指在屏幕空间中 $y$ 坐标递增的边。该定义依赖于三角形顶点采用一致的缠绕顺序。
通过左上规则，可以保证任意一个像素在共享边界处最多只被一个三角形覆盖，从而保证光栅化结果的一致性和确定性。
Z 缓冲
Z 缓冲区是一个与帧缓冲大小相同的二维浮点数组，用于记录每个像素的深度，从而解决三角形重叠和可见性问题。在光栅化过程中，对于每个片段：
- 计算该像素的透视校正深度 $Z_p$。
- 将 $Z_p$ 与深度缓冲区中对应像素位置的当前深度值比较。
- 如果 $Z_p$ 更靠近观察者，则更新深度缓冲区和帧缓冲区中的颜色值，否则丢弃该片段。
在渲染完成后，深度缓冲区保存了场景中每个像素可见三角形的最小深度，从而形成可用于遮挡测试的深度图。
抗锯齿
锯齿是由于光栅化过程中像素离散化造成的阶梯状边缘伪影。为减少这种视觉效果，需要采用抗锯齿（AA）技术。
一种常用的基于采样的抗锯齿方法是多重采样（Multisample / Supersampling）：
- 将每个像素划分为 $N \times N$ 个子像素（subpixel）。
- 对每个子像素进行光栅化并计算颜色。
- 最终将所有子像素颜色平均后写入帧缓冲区，从而得到平滑的像素颜色。
其中 $N$ 通常是 2 的幂（2、4、8 等），以平衡抗锯齿效果与性能开销。
这种方法能显著降低锯齿，但需要对每个像素进行多次光栅化和颜色计算，因此性能开销较大。
透视投影矩阵
透视投影矩阵变换摄像机空间中的坐标，将处于视锥体内处于近裁剪平面和远裁剪平面之间的 $x$、$y$、$z$ 坐标映射到 $[-1,1]$。设视锥体垂直视场的角度为 $Fov$，水平视场角度与垂直视场角度比值为为 $a$，近裁剪平面距离为 $Z_n$，远裁剪平面距离为 $Z_f$，则透视投影矩阵为：
$$\begin{bmatrix} \frac{1}{a \times \tan{(Fov \div 2)}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{(Fov \div 2)}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ Z_n + Z_f}{Z_n - Z_f } & \frac{2 \times Z_n \times Z_f}{Z_n - Z_f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$投影 x、y：
$$\begin{align*} \frac{1}{a \times \tan{(Fov \div 2)}} \\\ \frac{1}{\tan{(Fov \div 2)}} \end{align*}$$前两行系数用于将摄像机空间的 $x$、$y$ 映射到裁剪空间。
- 当垂直视场角 $Fov = 90°$ 时，$y$ 坐标保持不变，$x$ 坐标除以宽高比，保持横向缩放正确。
- 当垂直视场角 $Fov \neq 90°$ 时，这个操作等效于将当前视锥按比例缩放到垂直视场为 $90°$ 的标准视口，再映射到 NDC $[-1,1]$。
图 2：$\theta = 45°$，$P'.y = \frac{P.y}{\tan{\delta}}$
投影 z：
在透视投影中，需要将摄像机空间的 z 坐标映射到裁剪空间 $[-1, 1]$ 以便进行透视除法和深度缓冲。
设透视投影矩阵第三行元素分别为 $a$ 和 $b$，第四行第三列为 -1，则投影后裁剪空间的 z 分量为：
为了满足裁剪平面的边界条件，需要：
$$\begin{cases} z = -Z_n \Rightarrow z_{ndc} = z_c / w_c = -1 & \text{(近裁剪平面)} \\[2mm] z = -Z_f \Rightarrow z_{ndc} = z_c / w_c = 1 & \text{(远裁剪平面)} \end{cases}$$代入 $z_{ndc} = z_c / w_c = (a z + b)/(-z) = -a - \frac{b}{z}$，得到方程组：
$$\begin{cases} -a - \dfrac{b}{-Z_n} = -1 \\[1mm] -a - \dfrac{b}{-Z_f} = 1 \end{cases}$$解得：
$$a = \frac{Z_n + Z_f}{Z_n - Z_f}, \quad b = \frac{2 Z_n Z_f}{Z_n - Z_f}$$第四行第三列为 -1，保证投影后进行透视除法时 $w = -z$，从而保持深度正向关系。